Simplices and Regular Polygonal Tori in Euclidean Ramsey Theory

We show that any finite affinely independent set can be isometrically embedded into a regular polygonal torus, that is, a finite product of regular polygons. As a consequence, with a straightforward application of K\v{r}\'{i}\v{z}'s theorem, we get an alternative proof of the fact that all finite affinely independent sets are Ramsey, a result which was originally proved by Frankl and R\"{o}dl.Comment: 7 pages; corrected typo

Forbidden sparse intersections

Let $n$ be a positive integer, let $0<p\leqslant p'\leqslant \frac{1}{2}$, and let $\ell \leqslant pn$ be a nonnegative integer. We prove that if $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq \{0,1\}^n$ are two families whose cross intersections forbid $\ell$ -- that is, they satisfy $|A\cap B|\neq \ell$ for every $A\in\mathcal{F}$ and every $B\in\mathcal{G}$ -- then, setting $t:=\min\{\ell,pn-\ell\}$, we have the subgaussian bound $$\mu_p(\mathcal{F})\, \mu_{p'}(\mathcal{G})\leqslant 2\exp\Big( - \frac{t^2}{58^2\,pn}\Big),$$ where $\mu_p$ and $\mu_{p'}$ denote the $p$-biased and $p'$-biased measures on $\{0,1\}^n$ respectively

Ramsey expansions of metrically homogeneous graphs

We discuss the Ramsey property, the existence of a stationary independence relation and the coherent extension property for partial isometries (coherent EPPA) for all classes of metrically homogeneous graphs from Cherlin's catalogue, which is conjectured to include all such structures. We show that, with the exception of tree-like graphs, all metric spaces in the catalogue have precompact Ramsey expansions (or lifts) with the expansion property. With two exceptions we can also characterise the existence of a stationary independence relation and the coherent EPPA. Our results can be seen as a new contribution to Ne\v{s}et\v{r}il's classification programme of Ramsey classes and as empirical evidence of the recent convergence in techniques employed to establish the Ramsey property, the expansion (or lift or ordering) property, EPPA and the existence of a stationary independence relation. At the heart of our proof is a canonical way of completing edge-labelled graphs to metric spaces in Cherlin's classes. The existence of such a "completion algorithm" then allows us to apply several strong results in the areas that imply EPPA and respectively the Ramsey property. The main results have numerous corollaries on the automorphism groups of the Fra\"iss\'e limits of the classes, such as amenability, unique ergodicity, existence of universal minimal flows, ample generics, small index property, 21-Bergman property and Serre's property (FA).Comment: 57 pages, 14 figures. Extends results of arXiv:1706.00295. Minor revisio

Completing graphs to metric spaces

We prove that certain classes of metrically homogeneous graphs omitting triangles of odd short perimeter as well as triangles of long perimeter have the extension property for partial automorphisms and we describe their Ramsey expansions

Determinacy of Games and Applications

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Contributions in Euclidean Ramsey Theory

The subject of this PhD dissertation thesis, is Euclidean Ramsey theory and more specifically the problem of characterization of Ramsey sets. A finite subset Χ of some Euclidean space Rn for some n ∈ N is Ramsey, if for every number of colors r ∈ N there exists a large enough dimension N ∈ N, such that, for every coloring of RN we can find a monochromatic congruent copy of X.In the Introduction, we start by exploring the wealth of the results and new objects of study that where stated in the work titled “Euclidean Ramsey Theorems I”, which is considered the seminal paper for the new theory. We explore the simplest of Ramsey sets, like the regular simplex in any dimension and we see that no three co-linear points are Ramsey. Then we discuss some of the structural properties of Ramsey sets, for example we see that the finite products of Ramsey sets are Ramsey and that every Ramsey set must be spherical. Continuing our discussion, we list all known Ramsey sets, together with rough sketches for some of the proofs. The most significant results concerning the subject of characterizing Ramsey sets are two. The first is due to Frankl and Rödl, who in 1990 proved that any simplex is Ramsey. The second we owe it to Kříž, who in 1991 proved that, every transitive set with a solvable group of isometries with at most two orbits, is Ramsey. This, gives as a corollary that regular polygons and vertex sets of all platonic solids are Ramsey.Starting with our results, we describe how the apparent generality of Kříž’s theorem led us to wonder if Frankl’s and Rödl’s theorem about simplices can be induced in a similar fashion. We answer affirmatively this question, by showing that any simplex can be embedded into a regular polygonal torus, that is, the cartesian product of finitely many regular polygons. Afterwards, we discuss the two rival conjectures about Ramsey sets, the one due to Graham which says that all spherical sets are Ramsey, and the other due to Leader, Russell and Walters which say that Ramsey sets are exactly the sets that embed into some transitive set. The later group, have shown that the sufficient part of their conjecture, corresponds to a series of equivalent conjectures, which are striped from geometry and resemble the famous theorem of Hales and Jewett. One of these conjectures is a statement about a property that all finite groups must have. After we give the necessary definitions, we state two results concerning solvable groups and general actions from solvable groups, that confirm LRW conjecture in a stronger form for the case of solvable groups. Furthermore, we recover refined versions of all of Kříž results.During the next chapters, we present our proofs. For the simplices, first we show that all “almost regular” simplices embed into some regular polygonal torus. Then we show that regular polygonal tori, are in a specific sense “dense”. Finally with the help of a theorem which characterizes finite metric spaces that embed into some Euclidean space, we first break any simplex into one almost regular part and another which also embeds into a regular polygonal torus completing the proof. For the Hales-Jewett type results, we modify a well known lemma due to Shelah, and with techniques from Ramsey theory for product spaces combined with a combinatorial argument due to Kříž we manage to prove the stated results.In the last chapters, we mention some more things about another of the equivalent conjectures made by LRW. Their proof about a special case of this conjecture produces some new Ramsey sets. We then go and prove, that all these new Ramsey sets can be also obtained from Kříž results, by embedding them into a transitive set with a solvable group of isometries. We conclude with the remark, that until now, all known Ramsey sets, can be shown to be so using Kříž theorem.Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει σαν αντικείμενο μελέτης την Ευκλείδεια θεωρία Ramsey και πιο συγκεκριμένα, τα Ramsey υποσύνολα των ευκλείδειων χώρων. Ένα πεπερασμένο σύνολο X, το οποίο είναι υποσύνολο κάποιου ευκλείδειου χώρου Rm για κάποιο m ∈ N, λέγεται Ramsey, αν για κάθε αριθμό χρωμάτων r ∈ N, υπάρχει μια αρκετά μεγάλη διάσταση N ∈ N, η οποία είναι τέτοια, ώστε για κάθε διαμέριση του ευκλείδειου χώρου RN διάστασης N σε r σύνολα (την οποία αποκαλούμε χρωματισμό), υπάρχει ένα ισομετρικό (ως προς την ευκλείδεια νόρμα) αντίγραφο του X, το οποίο είναι μονοχρωματικό (περιέχεται σε ένα στοιχείο της διαμέρισης).Στην Εισαγωγή, αφού κάνουμε μια αναφορά στο θεμελιώδες θεώρημα του Frank Plumpton Ramsey, στην συνέχεια εξετάζουμε κάποια αποτελέσματα από την εργασία του 1973 “Euclidean Ramsey Theorems I” όπου ορίστηκαν για πρώτη φορά τα Ramsey σύνολα και από την οποία ουσιαστικά γεννήθηκε η Ευκλείδεια θεωρία Ramsey. Συγκεκριμένα, βλέπουμε τα πρώτα παραδείγματα Ramsey συνόλων, όπως για παράδειγμα το σύνολο των κορυφών ενός κανονικού simplex και τα πρώτα αντιπαραδείγματα, όπως κάθε σύνολο τριών συνευθειακών σημείων. Στην συνέχεια, αναφέρουμε τα θεμελιώδη δομικά χαρακτηριστικά των Ramsey συνόλων, δηλαδή ότι το καρτεσιανό γινόμενο Ramsey συνόλων είναι Ramsey και ότι κάθε Ramseyσύνολο είναι υποσύνολο της επιφάνειας μιας σφαίρας. Ύστερα, αναφέρουμε (σχεδόν) όλα τα αποτελέσματα από τα οποία προέκυψαν νέες κλάσεις Ramsey συνόλων, σκιαγραφώντας κάποιες από τις αποδείξεις. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα όσον αφορά το πρόβλημα του χαρακτηρισμού των Ramsey συνόλων είναι τα εξής. Το πρώτο είναι αυτό των Frankl και Rödl οι οποίοι το 1990 κατάφεραν να δείξουν ότι κάθε simplex, δηλαδή κάθε πεπερασμένο αφινικά ανεξάρτητο σύνολο, είναι Ramsey. Το δεύτερο και σημαντικότερο, το οφείλουμε στον Igor Kříž, ο οποίος το 1991 απέδειξε ότι κάθε πεπερασμένο transitive ευκλείδειο σύνολο, για το οποίο υπάρχει μία επιλύσιμη ομάδα συμμετριών, με το πολύ δύο τροχιές, είναι Ramsey. Σαν άμεσο πόρισμα τα κανονικά πολύγωνα και τα σύνολα κορυφών όλων των πλατωνικών στερεών είναι Ramsey. Στην συνέχεια, περνάμε στην περιγραφή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν κατά την διάρκεια αυτής της διατριβής. Οδηγούμενοι από την διαφαινόμενη εφαρμοστικότητα του θεωρήματος του Kříž, αναρωτιόμαστε αν το θεώρημα των Frankl και Rödl για τα simplices μπορεί να προκύψει από το αποτέλεσμα του Kříž. Απαντάμε καταφατικά, δείχνοντας ότι κάθε simplex μπορεί να εμφυτευτεί ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο, που δεν είναι τίποτα άλλο, από το καρτεσιανό γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού κανονικών πολυγώνων.Υπάρχουν δύο διαδεδομένες εικασίες όσον αφορά τα Ramsey σύνολα. Η πρώτη, του Graham, υποστηρίζει ότι όλα τα σφαιρικά σύνολα είναι Ramsey. Η δεύτερη και πιο πρόσφατη, από τους Leader, Russell και Walters λέει ότι τα Ramsey σύνολα είναι ακριβώς αυτά που εμφυτεύονται σε κάποιο transitive σύνολο. Οι τελευταίοι, σε μια σειρά από ισοδύναμες εικασίες, εξέφρασαν μια ικανή συνθήκη ώστε όλα τα transitive σύνολα να είναι Ramsey, μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε καθαρά συνδυαστικό. Οι εικασίες αυτές, προσομοιάζουν το γνωστό αποτέλεσμα των Hales και Jewett για μεταβλητές λέξεις και μια από αυτές αφορά μια ιδιότητα που πρέπει να έχει κάθε πεπερασμένη ομάδα. Αφού δώσουμε κατάλληλους ορισμούς, διατυπώνουμε κάποια σχετικά αποτελέσματα που αφορούν γενικές δράσεις επιλύσιμων ομάδων, από τα οποία προκύπτει μια ισχυρότερη μορφή της αντίστοιχης εικασίας των LRW και μια εκλέπτυνση των αποτελεσμάτων του Kříž.Στα επόμενα δύο κεφάλαια παρουσιάζουμε τις αποδείξεις των αποτελεσμάτων μας. Για τα simplices, πρώτα δείχνουμε ότι κάθε “σχεδόν κανονικό” simplex, εμφυτεύεται ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο, είναι αυθαίρετα κοντά σε ένα υποσύνολο ενός κανονικού πολυγωνικού τόρου. Τέλος, με την βοήθεια ενός χαρακτηρισμού των πεπερασμένων μετρικών χώρων που εμφυτεύονται ισομετρικά σε κάποιο Ευκλείδειο χώρο, “σπάμε” το simplex, σε μέρη που εμφυτεύονται σε κάποιο πολυγωνικό τόρο και ολοκληρώνουμε την απόδειξη. Για τα αποτελέσματα “τύπου” Hales-Jewett, προσαρμόζουμε ένα γνωστό λήμμα του Shelah στις ανάγκες της απόδειξης και με τεχνικές της σχετικής θεωρίας, εκμεταλλευόμαστε ένα συνδυαστικό επιχείρημα του Kříž χρησιμοποιώντας το ως αρχή του περιστερώνα, για να φτάσουμε στο ζητούμενο.Στα τελευταία κεφάλαια, αναφέρουμε λίγα πράγματα επιπλέον για μια άλλη από τις ισοδύναμες εικασίες των LRW, που δεν αφορά πεπερασμένες ομάδες και για την οποία απέδειξαν την εικασία τους σε μια πολύ συγκεκριμένη περίπτωση. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι για τα ευκλείδεια σύνολα για τα οποία προκύπτει ότι είναι Ramsey μέσω των αποτελεσμάτων των LRW, υπάρχει εναλλακτική απόδειξη μέσω του θεωρήματος του Kříž και καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι όλα τα μέχρι σήμερα γνωστά Ramsey σύνολα, έπονται ως τέτοια από το θεώρημα του Kříž. Κλείνουμε αυτή την εργασία κάνοντας μια αφελή εικασία για τα transitive ευκλείδεια σύνολα και προτείνοντας κάποιες πιθανές κατευθύνσεις της σχετικής έρευνας

The Topological and Algebraic Structure of the Space of Ultrafilters with Applications to Combinatiorics

140 σ.Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως κύριο αντικείμενο μελέτης τα υπερ- φίλτρα και τις εφαρμογές αυτών. Τα υπερφίλτρα έκαναν την εμφάνιση τους για πρώτη φορά στις αρχές του 20ου αιώνα μέσα από μία εργασία του Riesz [15] η οποία είχε ως αντικείμενο μελέτης την έννοια της συνέχειας και της εγγύτητας. Από το- πολογική σκοπιά μία έννοια σύγκλισης βασισμένη στα υπερφίλτρα (όπως και στα δίκτυα) φάνηκε ότι μπορεί να χαρακτηρίσει έννοιες όπως η συνέχεια, η κλειστότητα και η συμπάγεια σε γενικούς τοπολογικούς χώρους (σε αντίθεση με τις ακολουθίες). Επιπλέον τα υπερφίλτρα βρήκαν εφαρμογές σε πολλούς και φαινομενικά ανεξάρτη- τους τομείς των μαθηματικών, ενώ παράλληλα ανέδειξαν συνδέσεις μεταξύ κλάδων όπως η θεωρία μέτρου, η λογική, οι άλγεβρες Boole, η θεωρία μοντέλων και βεβαίως η τοπολογία από όπου και γεννήθηκαν. Στο κείμενο θεμελιώνονται αρχικά οι βασικές ιδιότητες των υπερφίλτρων και στην συνέχεια μελετώνται οι τοπολογικές ιδιότητες της Stone Ĉech συμπαγοποίη- σης ενός διακριτού τοπολογικού χώρου S που μπορεί να θεωρηθεί φυσιολογικά ως ο χώρος των υπερφίλτρων του S. Ύστερα αναπτύσσονται βασικές έννοιες και θεωρήματα της αλγεβρικής θεωρίας των ημιομάδων τα οποία και εφαρμόζονται για να εξαχθούν κάποια αποτελέσματα σχετικά με την αλγεβρική δομή της Stone Ĉech συμπαγοποίησης μίας διακριτής ημιομάδας. Τέλος γίνεται χρήση των προ- αναφερθέντων προς απόδειξη κάποιων θεωρημάτων της θεωρίας Ramsey όπως το Finite Sums Theorem του Hindman [9], το θεώρημα Hales-Jewett[7] και το θεώρημα van der Waerden [22]. Πιο αναλυτικά τα κεφάλαια περιλαμβάνουν τα εξής: Εισαγωγή: Τοπολογικές Ιδιότητες και Σύγκλιση Σε αυτό το πρώτο κεφάλαιο πρώτα παρατίθενται χωρίς απόδειξη βασικοί ορισμοί και θεωρήματα της θεωρίας της Τοπολογίας που αφορούν έννοιες όπως οι βάσεις περιοχών, το εσωτερικό συνόλου, η κλειστότητα συνόλου, η συμπάγεια, η συνέχεια συναρτήσεως, η επαγόμενη τοπολογία και η τοπο- λογία γινόμενο. Στην συνέχεια δίνεται μία όμορφη τοπολογική απόδειξη της απειρίας των πρώτων αριθμών η οποία οφείλεται στον Furstenberg [6]. Τέ- λος γίνεται μία μελέτη της ικανότητας των ακολουθιών στον χαρακτηρισμό ιδιοτήτων όπως η συνέχεια η συμπάγεια και η κλειστότητα και δείχνεται ότι αυτές δεν επαρκούν στην περίπτωση γενικών τοπολογικών χώρων. Υπερφίλτρα και Εφαρμογές Αφού δοθεί ο κλασικός τοπολογικός ορισμός των φίλτρων και των υπερφίλ- τρων, παραθέτονται κάποια παραδείγματα και αποδεικνύονται βασικές ιδιό- τητες όπως π.χ το γεγονός ότι κάθε οικογένεια συνόλων που ικανοποιεί την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής μπορεί να επεκταθεί σε ένα υπερφίλτρο. Στην συνέχεια ορίζεται η έννοια της σύγκλισης ενός φίλτρου και αποδεικνύ- εται ότι αυτή ανεξαρτήτως τοπολογίας μπορεί να χαρακτηρίσει όλες οι ση- μαντικές ιδιότητες όπως η συνέχεια συναρτήσεως και η συμπάγεια. Ύστερα αφού οριστεί η έννοια του φίλτρου γινομένου, δίνεται μία απόδειξη του γνω- στού θεωρήματος Tychonoff. Αφού δοθεί ο ορισμός της Stone Ĉech συμπα- γοποίησης ενός τελείως κανονικού χώρου, αποδεικνύεται ότι αν το σύνολο των υπερφίλτρων ενός διακριτού χώρου εφοδιαστεί με την Stone τοπολο- γία δηλαδή την τοπολογία που έχει ως βάση τα σύνολα της μορφής b A = f U j A 2 U g, ο τοπολογικός χώρος που προκύπτει είναι ομοιομορφικός με την Stone Ĉech συμπαγοποίηση του αρχικού χώρου. Εν συνεχεία δίνεται μία αντιστοιχία μεταξύ των υπερφίλτρων σε ένα σύνολο των δίτιμων πεπερα- σμένα αθροιστικών μέτρων και των γενικευμένων ποσοδεικτών που επιμερί- ζονται με όλους τους λογικούς συνδέσμους. Τέλος αποδεικνύεται η αντιστοι- χία μεταξύ υπερφίλτρων U και ομοιόμορφων U-ορίων τα οποία δείχνεται ότι είναι το ίδιο αποτελεσματικά και ευέλικτα με τα δίκτυα. Ημιομάδες, Ιδεώδη και Ταυτοδύναμα Στοιχεία Αφού δοθούν κάποιοι βασικοί ορισμοί της Θεωρίας Ημιομάδων, η μελέτη επι- κεντρώνεται στις ιδιότητες των ταυτοδύναμων στοιχείων και των μονόπλευ- ρων και δίπλευρων ιδεωδών. Συγκεκριμένα δίνονται ικανές συνθήκες ώστε τα ελαχιστικά μονόπλευρα και ελάχιστα δίπλευρα ιδεώδη να περιέχουν ταυ- τοδύναμα στοιχεία. Στην συνέχεια ορίζεται μία διάταξη στα ταυτοδύναμαστοιχεία μιας ημιομάδας και χαρακτηρίζονται τα ελαχιστικά ταυτοδύναμα ως προς αυτή. Το κεφάλαιο κλείνει με την απόδειξη του Θεωρήματος Δομής 3.74 που οφείλεται στον Suschkewitsch [20] για την πεπερασμένη περίπτωση και τον Rees [14] για την άπειρη. Η Stone Ĉech Συμπαγοποίηση μιας Διακριτής Ημιομάδας Αρχικά δίνεται ο ορισμός των δεξιά τοπολογικών ημιομάδων και στην συνέ- χεια αποδεικνύεται ότι κάθε συμπαγής δεξιά τοπολογική ημιομάδα έχει του- λάχιστον ένα ταυτοδύναμο στοιχείο. Κάνοντας χρήση των αποτελεσμάτων του Κεφαλαίου 3 χαρακτηρίζονται πλήρως τα ελαχιστικά μονόπλευρα ιδε- ώδη και τα ελαχιστικά ταυτοδύναμα που περιέχουν. Στην συνέχεια η πράξη μίας ημιομάδας S επεκτείνεται στην Stone Ĉech συμπαγοποίηση της βS κά- νοντας χρήση της χαρακτηριστικής ιδιότητας της μοναδικής συνεχούς επέ- κτασης. Μετά από την απόδειξη της προσεταιριστικής ιδιότητας της επέ- κτασης από όπου βγαίνει το συμπέρασμα ότι η βS είναι μια συμπαγής δεξιά τοπολογική ημιομάδα εξετάζονται οι διάφοροι τρόποι με τους οποίους νο- είται η επεκτεταμένη πράξη μεταξύ των υπερφίλτρων στοιχείων της ΒS. Το κεφάλαιο κλείνει με δύο αποδείξεις μίας γενικευμένης μορφής του Finite Sums Theorem του Hindman [9] στις οποίες γίνεται χρήση του γεγονότος ύπαρξης ταυτοδύναμου στοιχείου στην βS. Το Θεώρημα των Hales-Jewett Στο τελευταίο αυτό κεφάλαιο δίνεται μία απόδειξη του Θεωρήματος Hales- Jewett [7] κάνοντας επιπλέον χρήση και της διάταξης των ταυτοδύναμων στοιχείων. Στην συνέχεια εξάγονται ως πόρισμα τα θεωρήματα των van der Waerden [22] και Rado [13].The subject of this diploma thesis is ultrafilters and their applications. Ultrafilters made their first appearance at the beginning of the 20th century in a paper of Riesz [15] concerning the continuity and the notion of “nearness”. From a topological point of view the convergence of ultrafilters (as nets) has the capability to characterize concepts like the closure of a set, the continuity of functions and the compactness in abstract topological spaces. Furthermore, ultrafilters have found applications in many fields of Mathematics such as Measure eory, Logic, Boolean Algebra, Model eory and of course Topology from, which they originate, providing a link between them. In this text aer the introduction of the basic definitions and the examination of the most essential properties of ultrafilters, the Stone Ĉech compactification S of a discrete space S is being studied. Subsequently, some of the theory of Semigroups is developed and then applied in the study of the algebraic structure of the Stone Ĉech compactification of a discrete semigroup. Finally the Finite Sums eorem Hindman, the Hales-Jewe eorem [7] and the Van De Waerden eorem [22] are proved. More specifically the content of each chapter is as follows: Chapter 1: Topological Introduction is chapter starts with a presentation of the basic definitions and some of the most fundamental theorems of Topology. For example notions such as the closure of a set, compactness, the product topology and the continuityof a function are defined and some of their properties are exposed. Aer the description of a beautiful topological proof of the infinitude of Primes due to Furstenberg [6], the power of characterization of properties by means of sequence convergence is explored to conclude that these fail to achieve this goal in abstract topological spaces. Chapter 2: Ultrafilters Aer the classic topological definition of filters and ultrafilters some of the basic properties are presented and proved, such as the fact that every family of subsets of a set that has the Finite Intersection Property can be expanded to an ultrafilter. Subsequently, the notion of filter convergence and the image of a filter through a function are defined and it is shown that these are sufficient for characterizing concepts like continuity, compactness and the closure of a set in abstract topological spaces. Next, the definition of the product filter is presented and the Tychonoff eorem is proved using the theory of ultrafilters. Aer the definition of the Stone Ĉech compactification X of a completely regular Hausdorff space X, it is shown that in the case of a discrete space S its Stone Ĉech compactification S is homeomorphic to the space of ultrafilters of S with the Stone topology, whose basic open sets are exactly those of the form b A = f U j A 2 U g, where the symbol U symbolizes an ultrafilter on S. Subsequently, a description of a 1 1 correspondence between ultrafilters, 0 1 finitely additive measures and generalized quantifiers which distribute with all propositional connectives is provided. Finally the notion of uniform limit is defined and is shown that it is as versatile as the notion of nets. Chapter 3: Semigroups In this chapter the basic definition and properties of the eory of Semigroups is presented with more aention paid on the concepts of idempotent elements, one-sided and two-sided Ideals. Aer some theorems which give necessary conditions for an one-side ideal to contain an idempotent element, a partial order is defined on the set of idempotents of a semigroup and a characterization of those that are minimal with respect to this order is given. e chapter closes with the proof of the Structure eorem 3.74 which we owe to Suschkewitsch [20] for the finite case and Rees [14] for the infinite case. Chapter 4: e Stone Ĉe Compactification of a Discrete Semigroup Aer a brief presentation of the topological hierarchy of algebraic structures equipped with a topology the focus is given at right topological semigroups. It is proved that the set of the idempotent elementsof a compact right topological semigroup it is always non void. is fact has as a consequence that for every idempotent e 2 S there exists minimal idempotent f with f e. Subsequently the operation of a discrete semigroup is expanded by the fundamental property of the Stone Ĉech compactification to the entire space S and it is proved that it becomes a compact right topological semigroup. Aer a presentation of the various ways in which someone can understand the operation between ultrafilters (which are the elements of S), two proofs are given concerning a generalization of Hindmans Finite Sums eorem [9] using the fact that there exist an idempotent ultrafilter. Chapter 5: e eorem of Hales-Jewett In this last chapter, by using the results which concern minimal idempotent elements in compact right topological semigroups a proof of the well known eorem of Hales-Jewe [7] is presented.The chapter ends with a proof of Van De Waerdens eorem [22] and Gallais eorem for abelian groupsΜιλτιάδης Ν. Καραμανλή